HOOK · 시작 질문
$y$를 대신 넣어보면 ?
If one equation tells us what $y$ is — just substitute it into the other.
A LITTLE INSIGHT
$\{y = 2x + 1,\ 3x + y = 11\}$를 풀어봅시다.
첫째 식에서 이미 $y$는 $2x + 1$과 같다고 말합니다. 그렇다면 둘째 식의 $y$ 자리에 $(2x + 1)$을 대신 넣어보면 어떨까요?
$3x + (2x + 1) = 11$. 이제 미지수는 $x$ 하나뿐! $5x = 10$ → $x = 2$. 그리고 $y = 2 \times 2 + 1 = 5$.
이것이 대입법 의 본질입니다 — 한 식에서 한 미지수를 다른 미지수로 표현한 뒤, 다른 식에 대신 넣어 미지수를 하나로 줄이는 것.
이 차시는 연립방정식 풀이의 첫 번째 방법 — 대입법(substitution method) 을 배웁니다. "이미 한 미지수가 정리되어 있는 식"이 있을 때 특히 유용합니다.
CORE · 대입법 알고리즘
대입법 4단계
A reliable 4-step procedure.
SUBSTITUTION METHOD
대입법 4단계 절차
1
한 미지수를 다른 미지수로 표현
한 식을 $y = \ldots$ 또는 $x = \ldots$ 꼴로 정리한다. 이미 정리되어 있으면 그대로 사용.
2
다른 식에 대입
그 표현을 다른 식 에 대입한다. 이제 미지수는 한 개 만 남는다 (일차방정식 형태).
3
한 미지수 구하기
1학년의 일차방정식 풀이 로 미지수의 값을 구한다.
4
나머지 미지수 구하기
구한 값을 1단계 식에 다시 대입 하여 다른 미지수를 구한다.
WORKED DEMO · 시연
단계별 시연
Three examples from easy to mixed.
시연 ① · 이미 정리된 식
$\begin{cases} y = 2x + 1 \cdots \text{①} \\ 3x + y = 11 \cdots \text{②} \end{cases}$
STEP 1 ①에서 이미 $y = 2x + 1$.
STEP 2 ②에 대입: $3x + (2x + 1) = 11$.
STEP 3 정리: $5x + 1 = 11$ → $5x = 10$ → $x = 2$.
STEP 4 ①에 대입: $y = 2 \times 2 + 1 = 5$.
▶ 해: $(x, y) = (2, 5)$
시연 ② · 식을 변형해 대입
$\begin{cases} x + y = 7 \cdots \text{①} \\ 2x - y = 5 \cdots \text{②} \end{cases}$
STEP 1 ①을 $y = 7 - x$로 변형.
STEP 2 ②에 대입: $2x - (7 - x) = 5$.
STEP 3 정리: $2x - 7 + x = 5$ → $3x = 12$ → $x = 4$.
STEP 4 ①에 대입: $y = 7 - 4 = 3$.
▶ 해: $(x, y) = (4, 3)$
시연 ③ · $x = \ldots$ 꼴 대입
$\begin{cases} x = 2y - 1 \cdots \text{①} \\ 3x + y = 4 \cdots \text{②} \end{cases}$
STEP 1 ①에서 이미 $x = 2y - 1$.
STEP 2 ②에 대입: $3(2y - 1) + y = 4$.
STEP 3 정리: $6y - 3 + y = 4$ → $7y = 7$ → $y = 1$.
STEP 4 ①에 대입: $x = 2 \times 1 - 1 = 1$.
▶ 해: $(x, y) = (1, 1)$
WORKED EXAMPLES · 예제
함께 풀어보기
Two examples — one with two "y=" equations, one with decimals.
EXAMPLE 01
두 식 모두 $y = \ldots$ 꼴
$\{y = 3x - 1,\ y = x + 3\}$의 해를 구하시오.
1
두 식이 모두 $y$로 표현되어 있다. 둘이 같으므로 우변끼리 같다.
2
$3x - 1 = x + 3$ → $2x = 4$ → $x = 2$.
3
$y = 2 + 3 = 5$ (또는 $y = 3(2) - 1 = 5$).
▶ 답: $(x, y) = (2, 5)$
EXAMPLE 02
소수 가 있는 연립방정식
$\{x + y = 10,\ 0.5x + 0.3y = 4\}$의 해를 구하시오.
1
둘째 식의 양변 × $10$: $5x + 3y = 40$.
2
첫째 식에서 $y = 10 - x$. 둘째 식에 대입: $5x + 3(10 - x) = 40$.
3
정리: $5x + 30 - 3x = 40$ → $2x = 10$ → $x = 5$.
▶ 답: $(x, y) = (5, 5)$
PRACTICE · 연습 문제
스스로 풀어보기
8 problems. Type the value of $x$ (the solution's $x$-coordinate).
★ 기본 (3)
★★ 응용 (3)
★★★ 심화 (2)
$\{y = x + 2,\ 2x + y = 11\}$의 해 $(x, y)$에서 $x$의 값은? (답: 숫자만)
확인 풀이
SOLUTION
$2x + (x+2) = 11$ → $3x = 9$ → $x = 3$. $y = 5$.
$\{x = 2y - 1,\ 3x + y = 4\}$의 해 $(x, y)$에서 $x$의 값은? (답: 숫자만)
확인 풀이
SOLUTION
$3(2y-1) + y = 4$ → $7y = 7$ → $y = 1, x = 1$.
$\{x + y = 6,\ y = 2x\}$의 해 $(x, y)$에서 $x$의 값은? (답: 숫자만)
확인 풀이
SOLUTION
$x + 2x = 6$ → $x = 2, y = 4$.
$\{x + y = 8,\ 2x - y = 1\}$의 해 $(x, y)$에서 $x$의 값은? (답: 숫자만)
확인 풀이
SOLUTION
$y = 8 - x$ → $2x - (8 - x) = 1$ → $3x = 9$ → $x = 3, y = 5$.
$\{2x + 3y = 12,\ x - y = 1\}$의 해 $(x, y)$에서 $x$의 값은? (답: 숫자만)
확인 풀이
SOLUTION
$x = y + 1$ → $2(y+1) + 3y = 12$ → $5y = 10$ → $y = 2, x = 3$.
$\{x + 2y = 5,\ 3x + y = 5\}$의 해 $(x, y)$에서 $x$의 값은? (답: 숫자만)
확인 풀이
SOLUTION
$x = 5 - 2y$ → $3(5 - 2y) + y = 5$ → $15 - 5y = 5$ → $y = 2, x = 1$.
$\{y = 3x - 1,\ y = x + 3\}$의 해 $(x, y)$에서 $x$의 값은? (답: 숫자만)
확인 풀이
SOLUTION
$3x - 1 = x + 3$ → $2x = 4$ → $x = 2, y = 5$.
$\{x + y = 10,\ 0.5x + 0.3y = 4\}$의 해 $(x, y)$에서 $x$의 값은? (답: 숫자만)
확인 풀이
SOLUTION
둘째 식 × 10: $5x + 3y = 40$. $y = 10 - x$ 대입: $5x + 3(10-x) = 40$ → $2x = 10$ → $x = 5$.